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La situación presente en los fundamentos de las matemáticas:
Conferencia de 1933 donde Gödel
La situacion presente en los fundamentos de las matematicas
por
Kurt Godel
El problema de dar un fundamento a las matematicas (y por matematicas
entiendo aquı la totalidad de los metodos de demostracion utilizados
actualmente
por los matematicos) puede considerarse descompuesto en dos partes
distintas. Primero estos metodos de demostracion tienen que ser
reducidos a
un numero mınimo de axiomas y reglas primitivas de inferencia, que
tienen que
ser establecidas con tanta precision como sea posible, y entonces,
en segundo
lugar, debe buscarse una justificacion en uno u otro sentido para
estos axiomas,
esto es, un fundamento teorico del hecho de que ellos llevan a
resultados que
estan de acuerdo entre sı y con los hechos empıricos.
La primera parte del problema ha sido resuelta de un modo
completamente
satisfactorio, consistiendo la solucion en la llamada
“formalizacion”
de las matematicas, lo que significa que se ha inventado un lenguaje
de una
precision perfecta, mediante el cual es posible expresar cualquier
proposicion
matematica con una formula. Algunas de estas formulas se toman como
axiomas
y entonces se establecen ciertas reglas de inferencia que nos
permiten pasar
de los axiomas a nuevas formulas y ası deducir mas y mas
proposiciones, siendo
el aspecto mas destacable de las reglas de inferencia que estas son
puramente
formales, esto es, se refieren solo a la estructura externa de las
formulas, no
a su significado, de modo que podrıan ser aplicadas por alguien que
no sabe
nada de matematicas, o por una maquina. [Esto tiene como
consecuencia que
nunca puede haber dudas sobre en que casos se aplican las reglas de
inferencia
y, por tanto, se obtiene el grado mas elevado de exactitud posible].
El importante hecho de que todas las matematicas se puedan reducir a
unos pocos axiomas formales y reglas de inferencia fue descubierto
por Frege y
Peano. Pero cuando se intento por primera vez dar un tal sistema
formal para
las matematicas, o sea, un sistema de axiomas y reglas de
inferencia, surgio una
seria dificultad. A saber, si los axiomas y reglas de inferencia se
formulaban
en el modo que parecıa natural a primera vista, ellos implicaban
contradicciones
obvias, y se hizo claro que habıa que imponer ciertas restricciones
en
el tratamiento de los conjuntos infinitos. El modo en que estas
restricciones
deben realizarse parece estar exclusivamente determinado por los dos
requisitos
de evitar las paradojas y mantener todas las matematicas (incluyendo
la
teorıa de conjuntos). Al menos hasta el momento, solo se ha
encontrado una
solucion que verifique estos dos requisitos, aunque ya han
transcurrido mas de
30 a˜nos desde el descubrimiento de las paradojas. Esta solucion es
la teorıa de
tipos. (Me refiero a la teorıa simple de tipos, no a la forma
complicada, que
requiere del axioma de reducibilidad).
Podrıa parecer que el sistema de axiomas de la teorıa de conjuntos,
como
ha sido presentado por Zermelo, Fraenkel y von Neumann, suministra
otra solucion, pero resulta que este sistema no es otra cosa que una
generalizacion
natural de la teorıa de tipos o, mas bien, es en lo que se convierte
la teorıa de
tipos si se eliminan ciertas restricciones superfluas. Esto se ve
muy claramente,
por ejemplo, a partir del artıculo de von Neumann “¨Uber eine
Widerpruchfreiheitsfrage
in der axiomatischen Mengenlehre” [1929] y tiene lugar como
sigue: La restriccion sobre las reglas logicas introducida por la
teorıa de tipos
consiste esencialmente en esto, que la nocion general de clase o
conjunto es
descartada y reemplazada por una serie infinita de diferentes
nociones de clase.
Es decir, para comenzar a hablar de clases se pide primero que un
sistema de
cosas (llamadas individuos) este dado (podrıamos, por ejemplo,
tratar los enteros
como individuos); entonces podemos formar clases de esos individuos
y
hablar sobre todas esas clases. Entonces puedes avanzar un paso mas
y formar
el concepto de una clase cuyos elementos son estas clases de
individuos, i.e.,
de una clase de clases de individuos (llamada clase de segundo tipo)
y hablar
de estas clases. Ası puedes avanzar indefinidamente en esta jerarquıa
sin que
jamas puedas formar la nocion mas general posible de clase o
siquiera hablar
de todas las clases. Pero, para esta jerarquıa de clases, en los
Principia Mathematica
se han impuesto las siguientes restricciones, que son innecesarias
desde
el punto de vista de la busqueda de un sistema formal que evite las
paradojas
logicas y mantenga la totalidad de las matematicas, que es la unica
cuestion
que nos ocupa.
1. En los Principia Mathematica solo se han admitido los llamados
tipos
puros, i.e., no se pueden formar clases que contengan clases de
diferentes
tipos entre sus elementos.
2. Las proposiciones del tipo a ∈ b se tratan como carentes de
sentido (i.e.
no son ni verdaderas ni falsas) si a y b no son de tipos apropiados
(si, por
ejemplo, a es de tipo superior a b). Esta complicacion se puede
evitar
sencillamente estableciendo que a ∈ b es falso si a y b no tienen
tipos
apropiados.
Borrar estas primeras dos restricciones no es muy esencial, puede
verse
facilmente que ninguna contradiccion puede surgir de ello (y para
cada proposici
on demostrable en el nuevo sistema existe una equivalente en
Principia Mathematica).
La situacion es bastante diferente con la tercera restriccion, que
voy a explicar a continuacion. En la teorıa de Russell el proceso de
pasar al
siguiente tipo superior -por ejemplo, de clases de individuos a
clases de clases
de individuos- puede repetirse solo un numero finito de veces; es
decir, a cada
clase que aparece en el sistema de Principia Mathematica le
corresponde un
numero finito n que indica en cuantos pasos la clase en
consideracion puede
ser alcanzada comenzando en el nivel de los individuos. Este numero
n puede
ser arbitrariamente grande pero debe ser finito.
Ahora bien, no existe razon alguna por la que parar el proceso de
formacion
de tipos en este punto (como ha sido resaltado, por ejemplo, por
Hilbert).
Puede, por ejemplo, formarse la clase de todas las clases de tipo
finito que, por supuesto, no es de tipo finito, pero podrıa llamarse
de tipo ω. (La definicion
general del tipo ω serıa que una clase pertenece a este si contiene
solo clases de
tipo finito entre sus elementos, pero para cada entero
arbitrariamente grande
n, contiene elementos de un tipo superior a n). Esta claro como se
puede
continuar este proceso indefinidamente. Podemos hacer que la clase
de todas
las clases de tipo finito tenga una interpretacion analoga a la
clase de los
individuos, esto es, la tomamos como base para una nueva jerarquıa
de tipos
y, de este modo, formamos las clases de tipo ω + 1, ω + 2, y
seguimos este
proceso para cada ordinal transfinito.
Existe una objecion a este proceso de formacion de clases de tipo
infinito
que podrıa haber sido una de las razones por las que Russell se
abstuvo de
realizarlo. A saber, que para poder establecer los axiomas de un
sistema formal,
incluyendo todos los tipos hasta un ordinal dado α, la nocion de
este ordinal
α tiene que presuponerse como conocida, ya que aparecera explıcitamente
en los axiomas. Por otra parte, una definicion satisfactoria de los
ordinales
transfinitos se puede obtener dependiendo exclusivamente de los
axiomas del
sistema que se va a establecer. No creo que esta objecion sea seria
por la
siguiente razon: Los primeros dos o tres tipos ya bastan para
definir ordinales
muy grandes. De modo que se puede comenzar estableciendo los axiomas
para
estos primeros tipos, para lo cual no es necesario ningun ordinal,
entonces
definir un ordinal transfinito α en terminos de estos primeros tipos
y, por
medio de el, establecer los axiomas del sistema incluyendo todas las
clases
de tipo menor que α (Llamemosla Sα). Al sistema Sα le podemos
aplicar
nuevamente el mismo proceso, es decir, tomamos un ordinal β mayor
que α, que
se pueda definir en terminos del sistema Sα y, mediante su uso,
establecemos
los axiomas para el sistema Sβ que incluye todos los tipos menores
que β, y
ası sucesivamente.
El lugar que ocupa el sistema de axiomas para la teorıa de conjuntos
en esta jerarquıa puede ser caracterizado por una cierta propiedad
de cierre
como sigue: Hay dos formas distintas para generar tipos. La primera
consiste
en avanzar desde un tipo dado al siguiente y la segunda en reunir
una sucesion
transfinita de tipos, como hicimos, por ejemplo, para formar el tipo
ω. Ahora,
la afirmacion hecha por los axiomas de la teorıa de conjuntos es
esencialmente
esto, que estos dos procesos no nos llevan fuera del sistema si el
segundo proceso
se aplica solamente a aquellas sucesiones de tipos que puedan
definirse dentro
del mismo sistema. [Es decir: si M es un conjunto de ordinales
definibles en el
sistema y a cada ordinal de M le asignamos un tipo contenido en el
sistema,
entonces el tipo obtenido agrupando esos tipos tambien esta en el
sistema].
Pero serıa un error suponer que con este sistema de axiomas para la
teorıa de
conjuntos deberıamos haber alcanzado un final para la jerarquıa de
tipos. Pues
todas las clases que aparecen en este sistema pueden ser
consideradas como
un nuevo dominio de individuos y usadas como un punto de partida
para la
creacion de tipos aun mayores. No hay final para este proceso [y la
totalidad
de sistemas ası obtenida parece formar una totalidad de caracter
similar a la
del conjunto de los ordinales de la segunda clase numerica]. Ası
pues, estamos frente a una situacion extra˜na. Partimos buscando un
sistema formal para las matematicas y en vez de eso encontramos una
infinidad
de sistemas y, cualquiera que sea el sistema que elijamos de esta
infinidad,
existe uno mas comprehensivo, es decir, uno cuyos axiomas son mas
fuertes.
En la practica podemos, sin problemas, confinarnos a uno de estos
sistemas
(por ejemplo, el sistema para la teorıa de conjuntos) porque todos
los metodos
y demostraciones matematicas que se han desarrollado hasta ahora
estan en
este sistema y, aparte de ciertos teoremas de la teorıa de
conjuntos, toda la
matematica desarrollada hasta ahora esta contenida en sistemas
incluso mucho
mas debiles, que incluyen solo unos pocos de los primeros tipos. Sin
embargo, la
situacion creada por la existencia de una infinidad de sistemas,
cada uno de los
cuales se puede extender con mas conceptos y axiomas, puede ser
considerada
insatisfactoria y desacreditadora de la teorıa de tipos, que nos
conduce a esta
situacion.
Pero, de hecho, este caracter de nuestros sistemas se convierte en
un fuerte
argumento en favor de la teorıa de tipos. Pues resulta perfectamente
acorde
con ciertos hechos que se pueden demostrar de forma independiente.
Se puede
demostrar que cualquier sistema formal -este o no basado en la teorıa
de tipos,
siempre que este libre de contradiccion- debe ser necesariamente
deficiente en
sus metodos de demostracion. O, por ser mas exacto: Para todo
sistema formal
podemos construir una proposicion -de hecho, una proposicion sobre
la
aritmetica de los enteros- que es ciertamente verdadera si el
sistema esta libre
de contradicciones pero no puede ser demostrada en el sistema dado.
Ahora, si
el sistema bajo consideracion (llamemosle S) esta basado en la teorıa
de tipos,
resulta que exactamente el siguiente tipo superior no contenido en S
es necesario
para demostrar esta proposicion aritmetica, esto es, dicha
proposicion
se convierte en un teorema demostrable si a˜nadimos al sistema S el
siguiente
tipo superior y los axiomas asociados.
Este hecho es interesante tambien desde otro punto de vista.
Demuestra
que la construccion de tipos cada vez mayores no es de ninguna
manera ociosa,
sino que es necesaria para demostrar teoremas incluso de una
estructura simple,
a saber, proposiciones aritmeticas, con lo que quiero decir lo
siguiente:
Digo que una proposicion es “aritmetica” si afirma que una cierta
propiedad
P es verificada por todos los enteros, donde P es una propiedad que
es decidible
para cada entero particular mediante un procedimiento general. El
teorema
de Goldbach, que afirma que cada numero par es la suma de dos
numeros
primos, serıa, en este sentido, un ejemplo de proposicion aritmetica.
Un caso
especial del teorema general sobre existencia de proposiciones
indecidibles en
todo sistema formal es que existen proposiciones aritmeticas que no
se pueden
demostrar ni siquiera con el analisis sino solo mediante metodos que
implican
el uso de cardinales infinitos extremadamente grandes y cosas
similares.
Ahora, volviendo a la teorıa de tipos, me parece que hay un
sentimiento
bastante extendido entre los logicos de que hay algo incorrecto en
esta teorıa y
que debe existir otro metodo mas satisfactorio de evitar las
paradojas. Pienso
que este sentimiento esta justificado con respecto a la forma de la
teorıa tal
como ha sido presentada en Principia Mathematica. Pero si se
eliminan las
restricciones superfluas que mencione anteriormente, la mayorıa de
las objeciones
que se han arrojado contra ella ya no se sostienen. [Por ejemplo, la
necesidad de enunciar los axiomas logicos separadamente para cada
tipo desaparece,
pues podemos introducir una variable que toma valores en cualquier
conjunto de tipos dado, si eliminamos la restriccion relativa a la
puridad de
los tipos.] Como he mencionado anteriormente, la teorıa de tipos, si
la entendemos
en la forma mas general que explique, es hasta ahora la unica
solucion
al problema de restringir las reglas de la llamada logica ingenua
para evitar las
paradojas y mantener toda la matematica, y es muy verosımil que
permanezca
ası. Todas las otras soluciones que se han presentado hasta ahora o
bien se
quedaron en vagas promesas, es decir, no se han seguido hasta el
punto de
establecerlas como un sistema formal, o llevaron a contradicciones.
Voy ahora a ocuparme de la segunda parte de nuestro problema, a
saber,
el problema de dar una justificacion de nuestros axiomas y reglas de
inferencia.
Con respecto a esta cuestion, debe decirse que la situacion es
extremadamente
insatisfactoria. Nuestro formalismo funciona perfectamente bien y
esta perfectamente
libre de objeciones siempre que lo consideremos como un mero juego
con sımbolos, pero en el momento que adjudicamos un significado a
nuestros
sımbolos, surgen serias dificultades. Hay esencialmente tres tipos
de dificultades:
La primera esta relacionada con la nocion no constructiva de
existencia.
Es decir: amparados por los axiomas de nuestros sistemas se nos
permite, por
ejemplo, formar una proposicion del tipo “Existe un entero que tiene
cierta
propiedad P” y, aunque podrıamos no disponer de medios para
comprobar si
tal entero existe o no, aplicamos la ley del tercio excluso a esta
proposicion,
exactamente como si en cierto reino objetivo de las ideas esta
cuestion tuviera
respuesta, independientemente del conocimiento humano. Este
tratamiento
tiene extra˜nas consecuencias, como cabrıa haber esperado desde el
principio.
Por ejemplo, frecuentemente podemos probar la existencia de un
entero con
una propiedad dada, sin que nadie sea capaz realmente de nombrar un
tal
entero o siquiera describir un procedimiento a partir del cual
podamos obtener
un tal entero (las llamadas demostraciones de existencia no
constructivas).
El segundo punto flaco, que es aun mas serio, esta relacionado con
la
nocion de clase. Como explique antes, el concepto general de clase
ha sido
eliminado de nuestros sistemas y descompuesto en una serie infinita
de conceptos
de clases de diferente tipo. Pero extraigamos de esta serie un
concepto
arbitrario, por ejemplo la nocion de “clase de primer tipo”, esto
es, una clase
de enteros.
Como una clase de enteros, al menos si es infinita, solo puede estar
dada
mediante una propiedad caracterıstica comun a todos sus miembros, la
noci
on de “clase de enteros” es esencialmente la misma que la de
“propiedad
de enteros”, y este concepto aparece como una idea primitiva en
nuestros sistemas.
No solo eso, sino que ademas las palabras “todo” y “existe” se
aplican
a propiedades de enteros de exactamente el mismo modo que a los
enteros, utilizando por ejemplo la ley del tercio excluso. Este modo
de proceder es
particularmente objetable en lo referente a propiedades, porque da
lugar no
solo a proposiciones existenciales no constructivas sino tambien al
llamado
metodo de definicion impredicativa, que consiste esencialmente en
esto, que
una propiedad P se define mediante una afirmacion de la siguiente
forma: Un
entero x debe poseer la propiedad P si cierta afirmacion sobre x es
verdadera
para todas las propiedades (incluyendo a la propia P). De nuevo,
como en
el caso de la ley del tercio excluso, este proceso de definicion
presupone que
la totalidad de las propiedades existe de algun modo,
independientemente de
nuestro conocimiento y nuestras definiciones, y que nuestras
definiciones sirven
simplemente para seleccionar algunas de estas propiedades
previamente
existentes. Si asumimos esto, el metodo de definicion impredicativa
es totalmente
correcto (como ha sido destacado por Ramsey), pues no hay nada que
objetar en la caracterizacion de un elemento particular de una
totalidad previamente
dada haciendo referencia a la totalidad al completo. Hacemos esto,
por ejemplo, si hablamos del edificio mas alto de una ciudad.
Pero la situacion pasa a ser completamente diferente si tratamos las
propiedades
como generadas por nuestras definiciones. Pues es ciertamente un
cırculo
vicioso generar un objeto haciendo referencia a una totalidad en la
que este
mismo objeto se supone que ya esta presente. Russell, para evitar
este cırculo
vicioso, se vio obligado a descomponer la nocion de propiedad de un
tipo dado
en una infinidad de subtipos [de modo que una propiedad que haga
referencia
a cierta totalidad de propiedades, nunca pertenece a dicha
totalidad]. Este
mecanismo evita los cırculos viciosos pero tambien hace imposible
una teorıa
adecuada para los numeros reales, muchos de cuyos teoremas
fundamentales
parecen depender de forma esencial de definiciones impredicativas.
El tercer punto flaco en nuestros axiomas esta relacionado con el
axioma
de eleccion, del que, sin embargo, no quiero entrar en detalles
porque es de
menos importancia para el desarrollo de las matematicas.
El resultado de la anterior discusion es que nuestros axiomas, si
son interpretados
como afirmaciones significativas, necesariamente presuponen un
tipo de Platonismo que no puede satisfacer a ninguna mente crıtica y
que ni
siquiera produce la conviccion de que son consistentes. Sin embargo,
es debido
a otras razones que resulta extremadamente inverosımil que ellos
realmente
den lugar a contradicciones. Pues las consecuencias de los metodos
objetables,
como las definiciones impredicativas, han sido desarrolladas en
todas las
direcciones, especialmente en la teorıa de conjuntos y la teorıa de
funciones,
sin haber alcanzado jamas alguna inconsistencia. Ası pues, surge la
conjetura
de que, aunque hemos fallado en dar un significado libre de
objeciones a los
sımbolos de nuestros sistemas formales, quizas podamos demostrar la
ausencia
de contradicciones mediante metodos inobjetables. Y parece razonable
esperar
que esto sea posible, porque la afirmacion a demostrar -la
afirmacion de
que un sistema dado es no-contradictorio- es de un caracter muy
simple y no
implica el uso de ninguno de los conceptos objetables, como el de
“propiedad
de los enteros”. De hecho, la ausencia de contradiccion significa
simplemente que si comenzamos con ciertas formulas (llamadas
axiomas) y realizamos sobre
ellas ciertas operaciones (dadas por las reglas de inferencia)
tantas veces
como deseemos, nunca obtendremos dos formulas contradictorias, es
decir, dos
formulas una de las cuales es la negacion de la otra. En nuestra
demostracion de
consistencia no tenemos por que preocuparnos del significado de los
sımbolos
de nuestros sistemas porque las reglas de inferencia nunca hacen
referencia
a su significado, y por tanto, la cuestion [de la consistencia] pasa
a ser una
cuestion de tipo combinatorio sobre el manejo de los sımbolos de
acuerdo con
las reglas dadas.
Por supuesto, el punto clave en la deseada demostracion de
consistencia
es que esta debe desarrollarse segun metodos absolutamente
inobjetables,
es decir, debe evitar las demostraciones no constructivas de
existencia, las
definiciones impredicativas y cuestiones similares, pues es
precisamente una
justificacion de estos metodos dudosos lo que estamos buscando.
Ahora, lo
que queda de la matematica si descartamos estos metodos [y retenemos
solo
aquellas cosas que se pueden construir y las operaciones que se
pueden realmente
llevar a cabo] es la llamada matematica intuicionista, y el dominio
de esta matematica intuicionista no esta de ningun modo tan
unıvocamente
determinado como podrıa parecer a primera vista. Pues es cierto que
hay distintos
conceptos de constructividad y, en consecuencia, diferentes estratos
de
matematicas intuicionistas o constructivistas. Conforme ascendemos
en la serie
de estos estratos, nos estamos acercando a las matematicas
ordinarias, no
constructivas, y al mismo tiempo los metodos de demostracion y
construcci
on que admitimos pasan a ser menos satisfactorios y menos
convincentes.
El mas bajo de estos estratos, esto es, la forma mas estricta de
matematicas
constructivas, se puede describir aproximadamente mediante las
siguientes dos
caracterısticas:
1. La aplicacion del concepto de “todo” o “cualquiera” se restringe
a aquellas
totalidades infinitas para las que podemos dar un procedimiento
para generar todos sus elementos (como podemos hacer, por ejemplo,
para la totalidad de los enteros con el proceso de formar el
siguiente
entero mayor, y no podemos hacerlo con la totalidad de las
propiedades
de los enteros).
2. La negacion no se puede aplicar a proposiciones que afirman que
algo se
verifica para todo elemento, porque esto producirıa proposiciones
existenciales.
O, por ser mas exacto: las negaciones de las proposiciones
generales (esto es, proposiciones existenciales) solo tienen
significado en
nuestro sistema en el sentido de que hemos encontrado un ejemplo
pero,
por brevedad, no lo damos explıcitamente. A saber, sirven solamente
como una abreviacion y podrıamos deshacernos de ellas si lo
deseasemos.
Del hecho de que hemos eliminado el concepto de existencia y las
reglas
logicas relacionadas con el, se sigue que nos hemos quedado con
esencialmente
un unico metodo para demostrar proposiciones generales, a saber, la
induccion
completa aplicada al proceso de generacion de nuestros elementos. Y
finalmente, requerimos que podamos introducir solo aquellas nociones
que son decidibles para cualquier elemento particular y solo
aquellas funciones
que puedan ser calculadas para cualquier elemento particular. Tales
nociones y
funciones se pueden definir siempre mediante induccion completa y,
por tanto,
podemos decir que nuestro sistema (lo llamare A) esta basado
exclusivamente
en el metodo de induccion completa tanto en sus definiciones como en
sus
demostraciones. Este metodo posee un grado de evidencia
particularmente
elevado y de ahı que serıa la cosa mas deseable que la ausencia de
contradicciones
en las matematicas ordinarias no constructivas se pudiera probar con
metodos permitidos en este sistema A. Y, efectivamente, todos los
intentos
de demostracion de consistencia llevados a cabo por Hilbert y sus
discıpulos
trataron de cumplir exactamente este requisito. Mas, por desgracia,
la esperanza
de tener exito en esta direccion se ha desvanecido completamente a
la vista de algunos hechos recientemente descubiertos. Se puede
demostrar
de manera bastante general que no puede existir una prueba de
consistencia
para un sistema formal S que pueda ser expresada en los terminos del
propio
sistema formal S. Ahora, todas las pruebas intuicionistas que han
sido
construidas cumpliendo los requisitos del sistema formal A se pueden
expresar
facilmente en el sistema del analisis clasico e incluso en el
sistema de la
aritmetica clasica, y hay razones para creer que esto se mantendra
cierto para
cualquier demostracion que uno pueda construir.
Ası que parece que ni siquiera podemos probar la consistencia de la
aritmetica
con los metodos del sistema A porque esta demostracion, si cumple
con las
reglas del sistema A, serıa tambien expresable en la aritmetica
clasica, lo que
es imposible. Sin embargo, se han obtenido resultados parciales
interesantes,
siendo el de mayor alcance el siguiente teorema demostrado por
Herbrand: Si
tomamos una teorıa que es constructiva en el sentido de que cada
afirmacion
de existencia realizada en los axiomas esta apoyada por una
construccion, y
si a˜nadimos a esta teorıa el concepto no constructivo de existencia
y todas las
reglas de la logica vinculadas a el, por ejemplo la ley del tercio
excluso, nunca
caeremos en contradicciones. Uno podrıa pensar que esto es lo que
querıamos.
Pero desafortunadamente en la aritmetica clasica hacemos mas que
aplicar las
reglas de la logica (digamos, la ley del tercio excluso) a
expresiones que contienen
el concepto no constructivo de existencia. Tambien aplicamos la
inducci
on completa a estas expresiones, a saber, formamos propiedades de
enteros
utilizando la nocion no constructiva de existencia y, para demostrar
que estas
propiedades pertenecen a todos los enteros, aplicamos induccion
completa, y
ese es el punto en el que el resultado de Herbrand falla. El metodo
de Herbrand
podrıa ser generalizado tambien a sistemas que adopten la
subdivision de Russell
de tipos en subtipos pero, como mencione antes, para sistemas
mayores
que contengan toda la aritmetica o el analisis la situacion es
desesperanzadora
si insistimos en dar una demostracion de consistencia con los medios
del
sistema A.
Ahora, si observamos la matematica intuicionista tal como ha sido
desarrollada
por Brouwer y sus seguidores, nos percatamos de que ellos de ninguna
manera se han confinado al sistema A. El primer lugar donde sus
lımites son
transgredidos es en el concepto de “absurdo”. En nuestro sistema A
tenemos
prohibidas las negaciones de las proposiciones generales o, deberıa
decir,
solo las admitimos en el sentido de que realmente hemos encontrado
un
contraejemplo. Brouwer, sin embargo, introduce una forma distinta
para negar
proposiciones generales, llamada “absurdo”, y por la afirmacion de
que
una propiedad p es absurda entiende que uno ha logrado derivar a
partir
de p una contradiccion (por supuesto, mediante los metodos
intuicionistas
de demostracion). Ahora, podrıa suceder, y realmente sucede, que
podamos
derivar una contradiccion de la proposicion “para todo x, F(x) es
verdadero”
mediante metodos intuicionistas de demostracion sin que nadie sea
capaz de
ofrecer un contraejemplo, es decir, un x para el que F(x) es falso,
de modo
que tenemos un perfecto sustituto para los teoremas de existencia no
constructivos.
Y mucho mas que esto es cierto. Si investigamos los axiomas de
las matematicas intuicionistas tal como han sido establecidos por
Heyting,
un discıpulo de Brouwer, encontramos que para la nocion de absurdo
se obtienen
exactamente las mismas proposiciones que las que se obtienen para la
negacion en la matematica ordinaria –al menos, esto es cierto en el
dominio de
la aritmetica–. Ası que hemos logrado, mediante la nocion de
absurdo, dar una
interpretacion y, por tanto, tambien una demostracion de
consistencia para la
aritmetica clasica, que era imposible solo con los medios del
sistema A. El
caracter de los axiomas asumidos por Heyting sobre el concepto de
absurdo
puede verse a partir del siguiente ejemplo: p ⇒ ¬¬p, que significa:
si p se ha
probado, entonces la hipotesis ¬p lleva a una contradiccion. Esto es
evidente,
porque p y ¬p ya constituyen una contradiccion. Los axiomas de este
tipo
no violan el principio fundamental de las matematicas constructivas,
que solo
se puede hablar con sentido de las cosas que realmente podamos
construir y
las operaciones que podamos realmente llevar a cabo. Ası que los
axiomas de
Heyting relativos al absurdo y conceptos similares solo difieren del
sistema A
por el hecho de que el sustrato sobre el que las construcciones se
llevan a cabo
son las demostraciones en vez de los numeros u otros conjuntos
enumerables
de objetos matematicos. Pero por este mismo hecho ellos violan el
principio,
que enuncie anteriormente, de que la palabra “cualquiera” es
aplicable solo a
aquellas totalidades para las que disponemos de un proceso finito
para generar
todos sus elementos. Pues la totalidad de todas las posibles
demostraciones
ciertamente no posee esta cualidad y, sin embargo, la palabra
“cualquiera” se
aplica a esta totalidad en los axiomas de Heyting, como pueden ver
con el
ejemplo que mencione anteriormente, que dice: “Dada cualquier
demostracion
de una proposicion p, podemos construir una reduccion al absurdo
para la
proposicion ¬p”. Las totalidades cuyos elementos no se pueden
generar mediante
un procedimiento bien definido son en cierto sentido vagas e
indefinidas
hasta sus fronteras. Y esta objecion se aplica en particular a la
totalidad de las
demostraciones intuicionistas debido a la vaguedad del concepto de
constructividad.
Por tanto, esta fundacion de la aritmetica clasica mediante el uso
del
concepto de absurdo es de dudoso valor. Mas queda la esperanza de
que en el as satisfactorios de construccion,
mas alla de los lımites del sistema A, que nos permitan dar un
fundamento
para el analisis clasico y la aritmetica. Esta cuestion promete ser
un fructıfero
campo para ulteriores investigaciones.
Traducido del ingles por J. M. Almira
Departamento de Matematicas
Universidad de Jaen
Correo electronico: jmalmira@ujaen.es I THINK GOOGLE
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