Wittgenstein

1. El concepto de Filosofía y la noción de problema en Wittgenstein
   http://observaciones.sitesled.com/terapeutica.htm
   "Artículo del Dr. Adolfo Vásquez Rocca, de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso publicado en la Revista Observaciones Filosóficas."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca el 28/2/2006.
2. Wittgenstein; posición ante la Ética y la Metafísica
   http://www.cibernous.com/autores/wittgenstein/teoria/wittgenstein1a.htm
   "Ensayo del Dr. Adolfo Vásquez Rocca."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 6/3/2006.
3. Wittgenstein y el Budismo Zen
   http://observaciones.sitesled.com/tradwitt.htm
   "Texto para descargar PDF, de H. Hudson, traducido por el Dr. Daniel López Salort para Revista Observaciones Filosóficas."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 6/3/2006.
4. Wittgenstein en El que busca encuentra
   http://www.encuentra.com/includes/documento.php?IdDoc=2290&IdSec=410
   "Artículo de carácter general sobre Wittgenstein, en El que busca encuentra, lugar católico de la Red."
   Recomendada por Jorge Acevedo Guerra el 16/3/2006.
5. Wittgenstein y la filosofía de la religión anglosajona
   http://www.encuentra.com/includes/documento.php?IdDoc=2291&IdSec=410
   "Wittgenstein y la filosofía de la religión anglosajona es el tema abordado en este lugar de perspectiva católica, El que busca encuentra."
   Recomendada por Jorge Acevedo Guerra el 16/3/2006.
6. Las filosofías de Wittgenstein
   http://sunwc.cepade.es/~jrivera/bases_teor/episteme/autores/wittgenstein.htm
   "Artículo del Prof. Dr. José Rodríguez de Rivera Universidad de Alcalá, España. Publicado En:
   Materiales: Organización y Epistemología, web de la Universidad Politécnica de Madrid. Dpto. Ciencias Empresariales, Univ. de Alcalá de Henares."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 16/3/2006.
7. Wittgenstein; Mística, Filosofía y Silencio
   http://observaciones.sitesled.com/misticayfilosofia.html
   "Artículo del Dr. Adolfo Vásquez Rocca publicado en Revista Observaciones Filosóficas."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca el 10/3/2006.
8. Pensamiento y Acción: la Apuesta de Wittgenstein
   http://www.hottopos.com/mirand11/jareno2.htm
   "Artículo de Joaquín Jareño Alarcón, publicado en Revista Mirandum, n.º 11. Murcia."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 16/3/2006.
9. Wittgenstein, Heidegger y la reificación del lenguaje
   http://personales.ciudad.com.ar/M_heidegger/wittgenstein_heidegger.htm
   "Artículo de Richard Rorty traducido por J. Vigil Rubio."
   Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca el 16/3/2006.
10. El Destino de un Genio: el Filósofo: Ludwig Wittgenstein
    http://www.elpais.es/suplementos/babelia/20010428/b4.html
    "Artículo de Isidoro Reguera escrito en el suplemento Babelia, de El País, en conmemoración del cincuentenario de la muerte de Wittgenstein."
    Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 29/3/2006.
11. Ludwig Wittgenstein: aspectos pedagógicos de la Filosofía Terapéutica
    http://www.bu.edu/wcp/Papers/Cont/ContRive.htm
    "Artículo de Silvia Rivera, de la Universidad de Buenos Aires."
    Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 29/3/2006.
12. Puentes wittgensteinianos.
    http://lexicos.free.fr/Revista/numero6articulo3.htm
    "Artículo de Vicente Ulive-Schnell
    Doctorando en Filosofía, Universidad de París VIII. Publicado en Revista LÉXICOS Nº 6 - 2005.
    En el Artículo se refiere a una de las discusiones más habituales en la filosofía contemporánea, a saber, aquella orientada a distinguir dos tiempos en el pensamiento de Ludwig Wittgenstein: el llamado primer Wittgenstein, analítico autor del Tractatus Lógico-Philosophicus y el segundo Wittgenstein, autor de las póstumas Investigaciones Filosóficas. En ese sentido, la postura más plebiscitada se centra alrededor de la distinción que parece separar dos métodos filosóficos, dos libros, hasta dos filósofos si se quiere. El autor muestra cómo tal distinción - entre un primer Wittgenstein? y un segundo Wittgenstein- se me revela ficticia, maniquea y, lo peor de todo, un obstáculo para la comprensión del sentido unitario de la Filosofía wittgensteiniana."
    Recomendada por Adolfo Vásquez Rocca PH. D. el 19/4/2006.

MATEMATICAS Y ESTRUCTURA DE LA NATURALEZA

Universidad Complutense de Madrid

mdeguzman@bitmailer.net

Starting from the Pythagorean view of mathematics as a way to explore the "roots and sources of nature" the paper considers some contrasting views of the different modern conceptions of the mathematical activity (Russell's formalism, Gödel's realism,...) in order to substantiate the author's opinion about mathematics as a permanent attempt to render an ever more faithful approximation to reality, trying finally to suggest an explanation of the mind's openness to infinity.

Matemáticas y... Estructura de la Naturaleza?

Matemáticas, todos lo sabemos, es 2+2=4, log 2=0'301030..., tgx=senx/cosx, pi= 3'14... es la razón entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, dos triángulos son semejantes cuando..., qué pueden tener que ver tales cosas nada menos que con laestructura de la naturaleza? Ni siquiera a los matemáticos normales les oímos nada sobre tal relación! Que tenga que ver con la tecnología, con los cálculos relacionados con la construcción de un satélite que ha de viajar al espacio, pase, pero con... la estructura de la naturaleza! No estaremos delante de una exageración, una tremenda hipérbole, o tal vez ante una estrategia de propaganda en favor de algo tan abstruso como las matemáticas que necesita disfrazarse para encontrar cierto prestigio o al menos cierta comprensión en la gente crédula? No serán quimeras de iluminado?

Mi intención, con las consideraciones que siguen, es tratar de ayudar a contemplar la matemática bajo la misma luz con la que durante muchos siglos muchas personas la han considerado. Es cierto que nosotros mismos, los profesionales de la matemática, una gran mayoría, nos hemos vuelto bastante prosaicos en nuestra propia concepción de lo que la matemática representa. Para una gran parte de nosotros la matemática es una especie de herramienta, más o menos complicada, pero muy potente para manejar bien ciertos problemas prácticos, o bien una serie de elucubraciones que la tradición nos ha entregado y que, no sabemos muy bien por qué razón, viene bien que transmitamos a los más jóvenes.

Pero hubo un tiempo, en el nacimiento mismo de la matemática tal como hoy la concebimos, hace más de 25 siglos, a finales del siglo 6 a. de C., en que todo esto fue muy diferente. Para la comunidad de los pitagóricos, en cuyo seno fue gestada la matemática al modo que hoy la cultivamos, el pensamiento matemático era la escala hacia la comprensión del universo, hacia el conocimiento de "las raíces y fuentes de la naturaleza", como se expresan frecuentemente los documentos del pitagorismo primitivo conservados y esta era su función más importante.

La estela del pitagorismo en la historia de la civilización humana es bien patente, especialmente en la del pensamiento occidental, con Platón actuando como influyente transmisor del pensamiento pitagórico. A lo largo de la historia unas veces se manifiesta de forma bien explícita, como en el propio Platón, los neopitagóricos, los neoplatónicos, la Kabala, Galileo, Kepler,... y otras más implícitamente, por ejemplo en el mismo fundamento de nuestra actual concepción científica, a través del pensamiento básico de que el universo en que vivimos es un cosmos ordenado, no un caos, es un mundo inteligible mediante la luz de la razón, y en muchos aspectos a través de la razón matematizante.

Los pitagóricos: de los números a la divinidad

El siguiente testimonio puede resultar, en una primera consideración, un tanto chocante para los que vivimos acostumbrados a la concepción prosaica de la matemática, que somos la mayor parte de nosotros. Proviene de un pitagórico del siglo 4 a. de C., Filolao, y constituye una especie de himno entusiasmado al número.

Grande, todopoderosa, todoperfeccionadora y divina

es la fuerza del número,

comienzo y regidor de la vida divina y humana,

participante de todo.

Sin el número todo es confuso y oscuro.

...

Porque nada de las cosas nos sería claro

ni en su mismo ser ni en sus relaciones mutuas

si no existiera el número y su esencia.

El es quien armoniza en el alma

las cosas con su percepción

haciéndolas cognoscibles y congruentes unas con otras

según su naturaleza,

(Filolao, Diels,B.11)

La idea fundamental que aquí se expresa es la concepción presente en la base del pitagorismo de todos los tiempos. Para la comunidad pitagórica primitiva, ya desde los tiempos de Pitágoras mismo, cuya vida ocupa casi todo el siglo 6 a. de C., el orden y armonía del universo, que son objetos de contemplación, y a la vez modelo y espejo de lo que debe ser el comportamiento humano, se hacen especialmente diáfanos a través del número y sus proporciones. En este sentido es, probablemente, como hay que entender la afirmación del mismo Aristóteles según la cual para los pitagóricos "el número era la esencia de las cosas".

Cómo llegó Pitágoras a esta percepción profunda que ha sido capaz de iluminar una buena parte de la vida intelectual de los 25 siglos que de él nos separan? Cómo es posible que su idea haya calado tan profundamente en el pensamiento humano hasta convertirse en el centro de vida de todo un movimiento científico-filosófico-religioso que ha perdurado de forma organizada durante unos cuantos siglos y que hoy mismo ejerce una influencia y una fuerza de atracción tan poderosa como tendremos ocasión de ver?

La iluminación fundamental de Pitágoras está sostenida sobre tres constataciones que él tuvo ocasión de realizar, sobre todo a lo largo de sus viajes de estudio por los países de sabiduría milenaria de Mesopotamia y Egipto.

1) Del legado babilonio y egipcio Pitágoras había aprendido que los movimientos de los astros están gobernados por leyes numéricas.

2) Sobre todo a través de los desarrollos geométricos de los egipcios Pitágoras sabía también que las formas de las figuras geométricas se ajustan a los números y sus proporciones.

3) Parece estar bastante bien documentado que Pitágoras tuvo ocasión de comprobar, a través de experimentos realizados por sí mismo, posiblemente a través del monocordio, un instrumento sonoro con una sola cuerda, que la armonía de los sonidos está regida por los números.

De estos tres hechos, con una audaz extrapolación propia del verdadero genio que era, Pitágoras dedujo que todo en el universo está regido por el número, y mediante él llegamos a las raíces y fuentes de la naturaleza.

Para Pitágoras la matemática (el número) se dirige en realidad a la exploración del universo entero, en primer lugar hacia la estructura de lo cercano, de lo sensible, pero también hacia la estructura de la mente, incluso constituye un modo de acercamiento a la divinidad.

Esta sorprendente iluminación de Pitágoras es comentada como sigue por Alfred N. Whitehead, al final del primer capítulo de su obra Science in the Modern World (1925):

Verdaderamente Pitágoras, con su fundación de la filosofía y de la matemática europeas, las dotó con la más afortunada de las conjeturas.

O acaso fue un resplandor de genio divino que penetró hasta la naturaleza más íntima de las cosas?

Tal fundación de la filosofía y de la matemática europea no tuvo lugar como un fenómeno singular e individual, sino a través de lo que ha sido sin duda uno de los movimientos intelectuales más influyentes y duraderos en la historia del pensamiento humano. La comunidad de índole filosófico-científico-religiosa que se creó alrededor de Pitágoras en la Magna Grecia (situada al sur de lo que ahora es la península italiana, y que comprendía ciudades libres tales como Crotona, Tarento,...) alcanzó una fuerte identidad que la hizo perdurar por varios siglos alrededor de unas creencias que resume así Dicaiarcos, un discípulo de Aristóteles, en el siglo 4 a. de C. (lo narra Porfirio, neoplatónico del siglo 3 d. de C.):

(1) Que el alma es inmortal.

(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma a otra (metempsicosis).

(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo (eterno retorno).

(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre sí.

Trataremos a continuación de examinar los aspectos que han perdurado a través del tiempo de la visión interesante y profunda de los pitagóricos.  

Qué se puede pensar sobre la iluminación pitagórica después de 25 siglos de evolución ascendente de la matemática? La descripción general del quehacer matemático que se expone a continuación podría ser compartida sin problemas, pienso yo, por la mayor parte de los matemáticos contemporáneos. Como veremos, incorpora algunos de los rasgos de la intención de los pitagóricos. Cuando más adelante descendamos a la interpretación, un poco más detallada, del significado de esta actividad, entonces es cuando deberemos hacer notar las divergencias existentes entre los mismos matemáticos de la actualidad.

La matemática es una exploración de ciertas estructuras complejas de la realidad que, mediante un proceso de simbolización adecuado de los objetos a los que se acerca, y mediante una manipulación racional rigurosa de ellos, se dirige hacia un dominio efectivo de dicha realidad.

Las estructuras complejas de la realidad que en un principio trató de explorar la actividad matemática fueron las relacionadas con la multiplicidad y con el espacio, las dos estructuras básicas con las que el hombre se enfrenta de una forma espontánea y apremiante. De la intención racional de conseguir el dominio de estas realidades surgieron la aritmética y la geometría. Esta es la razón de que, en un principio, y por mucho tiempo, la matemática fuera definida como la ciencia del número y de la extensión.

Pero cuando las herramientas conceptuales de la matemática iniciales, número y geometría, fueron haciéndose más sofisticadas, cuando los instrumentos materiales de observación de otro tipo de estructuras de la realidad fueron perfeccionándose, y cuando se despertó la motivación suficiente para tratar de dominar otras regiones de la realidad material o conceptual, la mente matematizante fue creando otros sistemas adecuados para lograr el señorío de tales estructuras. Así es como nacieron, por ejemplo,

el álgebra, como símbolo del símbolo, es decir como un intento simplificador, a través de la introducción de nuevos modos de simbolización, de las relaciones de la aritmética,

el análisis matemático, fruto en un principio de la exploración del cambio físico en el tiempo y del estudio cuantitativo de la relación causa-efecto cuando ésta es suficientemente simple de analizar,

la probabilidad y la estadística, que encuentran modos de manejar cuantitativamente el azar, es decir aquellas situaciones en las que las causas que en ellas influyen son tantas y tan complejas que la mente matematizante ha de renunciar a examinar el influjo aislado de cada una para explorar de otro modo la influencia global de todas ellas,

la lógica matemática, que trata de explorar de modo riguroso las estructuras de funcionamiento deductivo de la misma mente cuando se ocupa de

temas en los que tales estructuras son susceptibles del proceso de simbolización y manipulación rigurosa que llamamos matematización,...

El avance de la matemática, como vemos, tiene lugar, en extensión, a medida que la mente humana se va encontrando capacitada y provista de las herramientas adecuadas, conceptuales y materiales, para explorar nuevos campos de la realidad, ya sea externa o interna, y este proceso parece que nunca llegará a su fin, dada la extrema complejidad del mundo real, que siempre va ofreciendo nuevos retos a la mente con intención matematizante.

En tiempos recientes, gracias a la disponibilidad de un gran cúmulo de herramientas conceptuales nuevas, en torno fundamentalmente al análisis matemático, y gracias también a la presencia de la revolucionaria herramienta que constituye el ordenador, ha surgido la posibilidad de iniciar, a través de la teoría de los sistemas dinámicos, la exploración de los fenómenos de la naturaleza que no son lineales (es decir el efecto no es proporcional a la causa, sino por ejemplo al cuadrado de la causa), y esto ha abierto una ventana para contemplar de cerca lo que se suele denominar caos matemático.

Un reto que se perfila para el futuro, en el que en nuestro tiempo han comenzado los primeros balbuceos, consiste en la exploración, mediante nuevas herramientas matemáticas, del funcionamiento global de la mente humana, del problema, por ejemplo, de encontrar explicaciones al fenómeno de la conciencia refleja, es decir al modo en que la mente conoce que conoce.

Hasta aquí hemos tenido ocasión de contemplar cuál es el sentido del quehacer matemático, es decir qué es lo que con eso que hemos llamado matematización se pretende. Vamos ahora a examinar un poco más profundamente cómo tiene lugar tal proceso, cuáles y cómo son las fases a través de las que la mente procede a la matematización.

Cómo es propiamente el proceso de matematización? A grandes rasgos se pueden distinguir las siguientes etapas:

es decir, colocada ante una realidad tal vez muy compleja la mente se encuentra motivada y suficientemente provista de instrumentos adecuados para acercarse a ella y comenzar a analizarla, es decir a descomponerla en sus elementos más simples, a prescindir de multitud de aspectos de esa realidad que son los causantes de su extraordinaria complejidad, a quedarse con unos cuantos que le parecen más propicios para empezar a practicar sobre ellos el ejercicio de simbolización e introducción en las redes y estructuras de sus conocimientos ya familiares a fin de aplicarles a ellos los útiles matemáticos que ya posee o de crear otros nuevos más idóneos para lo que le ha quedado de la realidad que se ha propuesto analizar. En otras palabras, abstrae, simplifica, modeliza, pero también hay que decirlo, mutila la realidad para tratar de entenderla, al menos parcialmente.

guiada la mente unas veces por el deseo de resolver los problemas prácticos que condujeron a la creación del modelo, otras veces motivada por un cierto placer estético de exploración de los problemas que el modelo mismo le propone de forma natural,... la mente va desarrollando, en ocasiones incluso con una extensión y profundidad que pueden parecer poco razonables, un edificio conceptual que, según confía, puede ayudarle a entender mejor la realidad misma que inició su construcción

3) la mente vuelve a la realidad de partida con los resultados que sus construcciones le ofrecen, a veces realizadas sin pretensión alguna de aplicación a la realidad, y... observa con sorpresa su adecuación a ella, a veces perfecta!

tal ha sido la situación en muchos casos de la historia del desarrollo de la matemática, tanto en tiempos antiguos como recientes; un caso bien conocido y que no necesita mucho comentario es el profundo desarrollo de la teoría de las cónicas en la matemática griega clásica, que tiene su origen en la curiosidad geométrica por saber cómo son las posibles secciones de un cono y que, llevado adelante con un alarde extraordinario de técnica por Apolonio en el siglo 3 a. de C., en buena parte por puro placer estético, encontró en el siglo 17, con Kepler y sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas, una culminación digna de esta bella construcción teórica sobre las cónicas. 

Este extraño camino, contacto inicial con una realidad, abstracción de unos cuantos aspectos de ella, construcción de todo un edificio mental por motivos que pueden ser tan variados y aterrizaje sobre la realidad inicial, que parece adaptarse a las construcciones realizadas, le deja a uno con una sensación semejante a la que uno cualquiera de nosotros experimentaría en la situación siguiente. Un buen día, basado en unos pocos detalles que conozco de la vida de una persona, me decido a escribir una novela sobre ella. Después de haberla escrito toda ella, con multitud de detalles, que yo considero ficticios, llego a conocer a tal persona... y me entero de que mi descripción se ajusta, punto por punto, a la realidad! Por su puesto que mi asombro sería enorme.

No es de extrañar que este misterio de la adecuación de nuestra teoría a la realidad haya dejado perplejos a muchos de los científicos que han reflexionado sobre ella. He aquí tres testimonios llamativos. El primero pertenece a E. Wigner, gran físico que recibió el premio Nobel en 1963, en un famoso artículo que lleva el significativo título La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales:

El milagro de la adecuación del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes físicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Deberíamos mostrarnos agradecidos por él y esperar que permanezca siendo válido en la investigación futura y que se extienda, para bien o para mal, para placer nuestro, aunque también tal vez para nuestra perplejidad, a ramas más amplias del saber.

(E.P.Wigner, The unreasonable efectiveness of mathematics in the natural sciences, 1960)

El segundo testimonio pertenece a N. Bourbaki, seudónimo bajo el que un célebre colectivo matemático, con su obra Élements de Mathématique a partir de los años cuarente, alcanzó enorme influencia en el desarrollo de la matemática reciente:

Que existe una relación íntima entre los fenómenos experimentales y las estructuras matemáticas parece confirmarse plenamente de la forma más inesperada mediante los descubrimientos más recientes de la física contemporánea. Pero no sabemos absolutamente nada sobre los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar realmente significado a estas palabras) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre ello.

(N.Bourbaki, L'Architecture des Mathématiques, 1948).

Bourbaki se refiere a los avances espectaculares de la física en torno a la relatividad, partículas elementales,... Parecía en aquel tiempo como si los instrumentos matemáticos ya creados casaran perfectamente para explicar una realidad que no tenía nada que ver con la motivación y los orígenes de tales instrumentos.

El tercer testimonio interesante proviene del mismo A. Einstein, artífice en buena parte de los avances en física a los que aludía Bourbaki anteriormente:

Aquí aparece un rompecabezas que ha perturbado a los científicos de todos los tiempos. Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano,que es independiente de la experiencia, se ajusta tan excelentemente a los objetos de la realidad física? Puede la razón humana sin experiencia descubrir con su puro pensar propiedades de las cosas reales?

(A. Einstein, Sidelights of Relativity)

El problema efectivamente asombra a cualquiera que a él se asome y, en el fondo, no es otro que el de la relación mente-mundo, sobre el que tanto han elucubrado filósofos y científicos de todos los siglos. Cuál es la relación de nuestra mente con la realidad? En qué consiste propiamente conocer?

Desde el campo propio de la filosofía se han dado muchas respuestas diferentes y aun diametralmente opuestas a este problema, lo cual no es muy sorprendente, dada la naturaleza tan compleja de la pregunta. Parecería que en la matemática, donde hemos construído un mundo que parece más a medida de nuestra propia mente, la situación debería aparecer más clara. Cuál es la relación matemática-realidad que hace posible esta situación misteriosa? Como veremos enseguida, tampoco los matemáticos que más han reflexionado sobre ello están de acuerdo.

Respuestas al enigma: realismo y formalismo frente a frente?

Para obtener una primera visión de la confrontación de que hablamos se pueden considerar dos testimonios muy importantes y bien representativos de las dos concepciones enfrentadas.

La postura calificada como formalista(la forma de nuestras afirmaciones es lo determinante en matemáticas)se puede entender a través de las siguientes palabras de B. Russell con las que él describe el quehacer matemático:

La Matemática Pura consiste enteramente en tales aseveraciones como la consistente en que, si esta y esta otra proposiciones son verdaderas acerca decualquier cosa entonces estas y estas otras proposiciones sobre esa cosa son verdaderas. Es esencial no discutir si la primera proposición es realmente verdadera y no mencionar qué es esa cualquier cosa de la que se supone que es verdadera...

...Si nuestra hipótesis es acerca de cualquier cosa y no acerca de una o más cosas particulares, entonces nuestras deducciones resultan ser matemática. Por lo tanto la matemática se puede definir como el campo en que nunca sabemos de qué estamos hablando ni si lo que decimos es verdadero.

(Bertrand Russell, Recent Work on the Principles of Mathematics, International Monthly 4 (1901)).

las que Russell alude, de las que se pueden afirmar (se suponen verdaderas) tales y cuales proposiciones (aunque en realidad no es necesario ni nos debe importar que sean verdaderas o no). Las reglas de combinación de esos objetos son en el caso de la matemática las reglas deductivas, es decir las reglas por las cuales de unas cuantas afirmaciones se siguen lógicamente otras.

Es conveniente hacer notar que Russell se refiere aquí explícitamente a lo que el llama MatemáticaPura, un término del tiempo en las universidades británicas que no incluía los desarrollos matemáticos relativos a las aplicaciones. Y también viene bien recordar que él y A.N.Whitehead intentaron llevar a cabo con los Principia Mathematica (1910-1913) un proyecto titánico interesante con el que se pretendía derivar la matemática a partir de la lógica. La descripción de Russell bien puede corresponder a dicho intento, pero lo discutible, y por muchos rechazado, es que eso constituya el quehacer propio de la matemática. A mi parecer se podría decir que la descripción de Russell se adapta de algún modo a lo que es el mero juego deductivo de la matemática o de cualquier otro sistema hipotético-deductivo, pero no a lo que ha constituído propiamente el quehacer matemático de todos los tiempos. Creo que serían pocos los matemáticos del pasado, e incluso del presente, los que estarían seriamente de acuerdo con la afirmación de que su quehacer matemático es un mero juego deductivo cuya relación con la realidad es mejor dejar a un lado.

En los tiempos actuales, la concepción opuesta, que se denomina realismo matemático, se puede entender bien, en una primera aproximación, a través de las siguientes palabras de K. Gödel, autor de algunos de los trabajos más importantes en la matemática de todos los tiempos en relación con la comprensión de lo que la matemática significa desde el punto de vista filosófico. Al final de una importante conferencia, la conferencia Gibbs, en 1951, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their philosophical implications, proclamaba bien abiertamente su propia concepción de la matemática:

...la concepción platónica es la única sostenible. Con ello me refiero a la concepción de que la matemática describe una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actos como de las disposiciones de la mente humana, y que sólo es percibida por ella, aunque probablemente de forma incompleta. Esta concepción es más bien impopular entre los matemáticos, aunque algunos de los grandes la han adoptado, por ejemplo Hermite, que escribió una vez lo siguiente:

'Existe, si no me equivoco, todo un mundo que es el conjunto de las verdades matemáticas, al que no tenemos acceso más que por la inteligencia, al igual que existe el mundo de las realidades físicas; ambos son independientes de nosotros y de creación divina.' "

(K.Gödel, Ensayos inéditos, Edición a cargo de F. Rodríguez Consuegra, Mondadori, Madrid, 1994, p.169)

Esta conferencia de Gödel, que ha permanecido inédita hasta hace tres años, como la mayor parte de sus escritos filosóficos, frutos del trabajo de más de 40 años de intensa dedicación a las implicaciones filosóficas de sus propios resultados matemáticos, destaca su concepción pitagórico-platónica de la matemática, frente a las tendencias formalistas muy dominantes en la época en que fue pronunciada. La expresión de Gödel es bien explícita y, con toda probabilidad escogió con sumo cuidado todas y cada una de sus palabras, a juzgar por su forma de trabajar, en constante duda y replanteamiento de los pensamientos que iba elaborando, como queda bien patente en lo que va apareciendo publicado de todos los escritos muy elaborados que dejó inéditos.

Formalismo y realismo son dos concepciones muy distintas de lo que el quehacer matemático significa. Esto no quiere decir que tal escisión interna inquiete mucho a la comunidad matemática. La mayor parte de los matemáticos actuales consideran que tienen ante sí una tarea suficientemente atrayente y complicada al tratar de resolver los problemas concretos que se van generando de forma natural con el desarrollo de su propio campo y dejan como responsabilidad de quienes se ocupan de explorar los fundamentos de la matemática los temas que no son de índole técnica, sino más bien de sabor filosófico. Piensan que en realidad tales problemas no afectan en absoluto la belleza ni la utilidad del juego que la comunidad matemática desde hace milenios viene practicando.

Pero parece una actitud más razonable tratar de interesarse por este tipo de problemas al menos hasta el punto de poder formarse una idea propia bien fundamentada sobre el sentido y el alcance de la actividad a la que cada uno de nosotros está dedicado. Esto es, por otra parte, bien útil a fin de no quedar atrapado por los muchos prejuicios alrededor de la ciencia, y en particular alrededor de la matemática misma, que nos pueden impedir contemplar con objetividad el lugar que nuestra actividad ocupa en el desarrollo de una cultura más plenamente humana. La matemática participa de muchos de los aspectos del juego, pero no es solamente un juego, sino también una ciencia, un arte intelectual creador de una belleza peculiar, uno de los ejes fundamentales de la cultura, con un lugar muy central en ella y una responsabilidad muy especial en su correcto desarrollo. Trataré a continuación de exponer sucintamente unas cuantas observaciones propias en torno al triángulo realidad-mente-matemática que tal vez puedan ayudar a otros a formarse su propia opinión sobre el problema.

Una explicación plausible: la aproximación permanente del quehacer matemático hacia la realidad.

A mi parecer se puede concebir el sentido del quehacer matemático como una aproximación hacia la realidad, aproximación cada vez más sutil mediante la construcción de esquemas mentales que tratan de explicar de modo más adecuado aspectos nuevos de la misma realidad o bien aspectos ya considerados por etapas anteriores que resultan ser problemáticos y aún inabarcados por nuestra comprensión. La matemática surge de la interacción continua de la mente con la realidad, del modo que señalaré en seguida.

En primer lugar quisiera dejar claro que por realidad no quiero significar solamente el mundo externo, el mundo perceptible por nuestros sentidos y cuantificable mediante nuestros instrumentos de medida, sino también el mundo mental, el universo conceptual que el matemático va estructurando, ya que es claro que la matemática se va construyendo también tomando como objeto de su consideración el edificio mismo de los objetos que ya ha construído.

Pero sí que es cierto que las realidades iniciales de partida sobre las que la mente matemática inició su exploración fueron las realidades sensibles a su alrededor. Como he indicado antes, las estructuras de multiplicidad y las estructuras espaciales presentes para nosotros en nuestra primera percepción de ellas dieron lugar a las primeras formas de matematización, aritmética y geometría.

Cómo? Tal vez se puedan señalar en el proceso unas cuantas etapas. El hombre capta las realidades externas directamente mediante sus sentidos, pero en cierto modo el magma caótico que podrían resultar sus percepciones se le comienza a hacer transparente ya desde el principio para su mente gracias a que sobre ellas lanza sus redes y esquemas conceptuales. La percepción sensorial del hombre no es previa en el tiempo a la percepción intelectiva, sino coincidente con ella. Juntamente con su percepción sensorial el hombre percibe relaciones de similitud, diferencia, formas, situación,... entre las cosas. Es capaz de iniciar un proceso de matematizaciónen sobre ciertas estructuras básicas de la realidad en el sentido indicado anteriormente (simbolización, manipulación racional,...). Sus trucos iniciales que en un principio pudieron ser bien toscos se convierten en esquemas más sofisticados que le proporcionan un cierto éxito.

Por ejemplo, el hombre afronta la multiplicidad, presente en las cosas y también, de una manera más sutil, en la propia conciencia de repetibilidad de su yo mismo, es decir de su misma unidad interna. Idea el número como instrumento adecuado para manejar esa multiplicidad de las cosas mediante unas cuantas hipótesis razonables. A través de esta estructura mental llega a dominar aspectos simples de la realidad subyacente.

Los éxitos conseguidos le hacen más audaz. Se atreve con aspectos más complicados y sofisticados de la realidad que observa y de las estructuras que se ha ido creando. Por ejemplo, en relación con el número, se forja conjeturas tal vez aventuradas, como la de los pitagóricos que ya hemos contemplado, según la cual el universo entero está regido por los números naturales (1,2,3,4,...) y por las proporciones entre ellos.

Aparecen situaciones que resultan confusas y paradójicas. Con respecto a la concepción del número entre los pitagóricos surgió la presencia del número irracional y el mundo se les vino abajo. Los esquemas iniciales que la mente matemática había esperado que pudieran explicar adecuadamente la realidad para la que se habían construído resultan ahora demasiado simples y estrechos para seguir explicando aspectos nuevos que han surgido o bien insuficientes para poder dar cuenta, como esperaba, de situaciones más abiertas. Es necesario revisar tales concepciones.

Esta revisión no se realiza inmediatamente, no se sabe bien cómo hacerlo, y por ello no se percibe a veces, en el desarrollo de la matemática, como un avance, sino más bien como un fracaso, como una profunda crisis, como sucedió en el caso de la irrupción del número irracional entre los matemáticos pitagóricos. Sólo a posteriori podrá ser contemplada como una crisis de crecimiento, cuando, después de reparado el edificio y con una cierta visión panorámica, se deshaga la comunidad matemática de los prejuicios que le habían inducido a aceptar como buenas las ideas y expectativas que en realidad no tenían un fundamento adecuado. La realidad acaba por imponerse.

En esta interacción con la realidad, con la estructura de la naturaleza, la matemática va desarrollándose, profundizando y abarcando campos más amplios. Esta situación apunta, a mi parecer, a la existencia en la mente humana de una cierta plasticidad, también en este terreno aparentemente tan rígido del pensamiento matemático.

La mente se acerca a la realidad para matematizarla y se construye ciertos trucos mentales, incluso en ocasiones esquemas axiomáticos bien sofisticados que, ya que de momento le van bien, incluso a veces sorprendentemente bien, los da por perfectamente adecuados y piensa que abarcan y se ajustan a la realidad entera, dominando plenamente los aspectos de ella a los que se dirigen. Piensa que esas configuraciones de su mente que con esfuerzo ha realizado se adaptan plenamente a la realidad, piensa que son las leyes a las que la misma realidad se ajusta.. Pero tal vez no tiene en cuenta que sus esquemas fueron abstracción y mutilación de la realidad y que de ella pueden surgir, cuando trate de enfrentarse con nuevas preguntas y problemas, aspectos que ya no son dominados por tales esquemas.

Cuando estos aspectos surgen, en muchas ocasiones manifestados por la presencia de situaciones paradójicas, la mente se encuentra en un principio sacudida, las cosas no casan con sus expectativas, pero no tarda en encajar la convicción que se le impone de que las cosas no son como pensaba y que tiene que aceptar la realidad tal cual es. Vuelve a construirse nuevos esquemas, nuevos trucos, cambia de sus axiomas aquellos que piensa que le van a venir bien para que el nuevo sistema que construye se adapte a todas las situaciones que en ese terreno sabe ahora que se dan.

En mi opinión la matemática surge de esta interacción continua entre la mente y la realidad. La realidad posee su estructura, por supuesto. La realidad es como una filigrana de estructura extraordinariamente fina que actúa como un estímulo necesario para que, en la interacción mente-realidad, surja el edificio conceptual de la matemática. La mente se acerca a ella y se adapta a esa realidad, en un intento que parece suficiente para los problemas simples con los que se ocupa al comienzo, mediante los esquemas que crea. Tales esquemas no tienen por qué coincidir enteramente con los de la realidad. Son aproximaciones a ella, pero nunca acabarán por abarcarla toda, como más adelante veremos.

Por supuesto que algunas de estas estructuras conceptuales fundamentales tendrán una solidez permanente, 2+2 siempre serán 4, pero puede haber finezas, explícitas o implícitas, en esa forma inicial de acercamiento a la realidad que no parecen importantes para los problemas más básicos, pero que afloran cuando las preguntas se hacen más sofisticadas.

La aritmética de los números naturales no parece presentar problemas de fondo hasta que la mente se encara con otras preguntas que nos colocan en una cierta encrucijada. Por ejemplo, si consideramos por un lado todos los números naturales (1, 2, 3, 4,...) y por otro todos los números pares (2, 4, 6, 8,...), nos podemos preguntar legítimamente: dónde hay más, en el primer conjunto o en el segundo? Por una parte parece claro que, como todos los pares son naturales y el 3, por ejemplo, es natural y no par, uno debería responder que los naturales son más. Pero por otra parte es claro que cada número par, por ejemplo 28, se puede emparejar con su mitad, aquí 14, y de esta manera los elementos de los dos conjuntos quedan emparejados uno a uno, sin que sobren números naturales ni números pares, cada oveja con su pareja. De modo que hay tantos pares como naturales. Esto es lo que constituye una de las paradojas importantes de los números naturales (paradoja de Galileo), detrás de la cual está la antiquísima polémica sobre el infinito potencial y el infinito actual. El enfrentamiento matemático de forma sistemática con situaciones semejantes tuvo lugar a finales del siglo 19 con G. Cantor y dió lugar a una expansión considerable del ámbito de la matemática, con la creación de la teoría de conjuntos.

Con respecto a paradojas semejantes a la mencionada de Galileo y otras más profundas que aparecieron en la teoría de conjuntos y en los fundamentos básicos de la matemática, Gödel pensaba que lo que sucede es que la teoría de conjuntos es algo que tiene realidad propia, en ese mundo de las ideas del que en su conferencia Gibbs anteriormente citada se hacía eco, y que lo que sucede es que la mente humana no ha llegado a penetrar aún suficientemente en ella para ver claro y extraer con justeza cuáles son los axiomas por los que se rige, pero que con el tiempo la mente verá más claramente y entonces será capaz de discernir cuáles son los axiomas que es preciso adoptar, pues son los de la realidad. La teoría de conjuntos por tanto, es algo que está ahí, independiente de la mente humana y que lo que hace la mente con ella no es más que observarla y darse cuenta de su forma, de manera semejante a la que un botánico va observando las diversas especies de plantas y las describe. Pero, si esto es así, cómo explicar la posibilidad de establecer, por ejemplo, diversos sistemas axiomáticos en geometría y en teoría de conjuntos, igualmente legitimados desde el punto de vista del constructor lógico, y tales que el sistema A resulta más adecuado que el B para manejar y explicar ciertas situaciones mientras que el B es más adecuado para explicar otros aspectos de la realidad? Cómo se puede afirmar a la vista de este fenómeno que solamente uno de estos sistemas es el que posee la exclusiva de ser el auténtico esquema de la realidad?

Quizás se pudiera modular el pensamiento de Gödel de la siguiente forma. Se podría tal vez pensar que, como he afirmado antes, la realidad es la motivación para que nuestro mecanismo mental construya diversos modelos, esquemas mentales, que no son necesariamente impuestos por ella ni por la forma de ser de nuestra propia estructura mental. En realidad ninguno de los esquemas que construyamos va a agotar sin residuos la realidad misma que pretende manipular y manejar. Por eso mismo la mente es, hasta cierto punto al menos, libre en su construcción. La realidad nos proporciona la ocasión. Nuestra mente la puede interpretar de diversas formas. Y cuando hablo de realidad, como dije antes, me refiero también a nuestra propia estructura mental, y muy principalmente a ella, ya que la matemática se fundamenta de forma tan determinante en esta estructura mental.

Por lo tanto, en este proceso de ajustamiento a la estructura fina de la realidad, la mente, que forma parte ella misma de tal realidad, va conformando estructuras propias que, espera, se adecúen cada vez mejor. La mente actúa en esta interacción con cierta plasticidad y libertad. Ante una misma etapa de la interacción mencionada la mente puede optar por construir tal o cual sistema de axiomas (geometría euclídea o no-euclídea, teoría de conjuntos cantoriana o no-cantoriana) e incluso es capaz de desarrollarlos todos ellos independientemente por tenerlos en reserva, tal vez a la espera de su posible aplicación cuando surja una situación que convenga. Quizás se encuentre en el futuro en circunstancias en las que uno de los sistemas que ha creado pueda proporcionarle ventajas en su interpretación de algún aspecto de la realidad.

Esta visión de la matemática permanentemente en camino hacia una comprensión más cabal de diferentes aspectos de la realidad y construyéndose y perfeccionándose a sí misma en interacción profunda con los aspectos de la realidad misma a los que dirige su contemplación está plenamente en consonancia con las propias ideas de Gödel acerca del carácter inagotable del quehacer matemático, y con la apertura estructural del pensamiento de la matemática al misterio, como tendremos ocasión de ver en detalle más adelante, al tratar, al menos someramente, la significación del teorema de Gödel en la comprensión del significado de la actividad matemática. Pero antes quisiera centrar la atención sobre un punto interesante que de algún modo ya ha hecho su aparición en nuestra exploración del modo como tiene lugar el desarrollo de la matemática. Cuál ha sido la fuerza fundamental que ha empujado al matemático a modificar las concepciones, en muchos casos bien arraigadas y aparentemente con fundamentos bien seguros, en las que estaba asentado?

La paradoja como estímulo del progreso matemático.

Una paradoja es una situación a la que llegamos cuando, pensando adecuadamente, a partir de ciertas premisas de las que nos parece no poder tener ningún motivo para dudar, llegamos a una afirmación que, por lo tanto, nos parece incontrovertible, y a continuación, pensando de otro modo también indubitable, llegamos a una conclusión que contradice la anterior. Una paradoja no es un sofisma. Un sofisma es un engaño más o menos sutil. Una paradoja es una oportunidad para profundizar en nuestras ideas y concepciones, ya que pone de manifiesto que hay algo en las premisas que damos por perfectamente buenas que no hemos llegado a entender correctamente. En cierta ocasión, trabajando con un grupo de colaboradores sobre un problema difícil se le oyó musitar a Niels Bohr, uno de los grandes científicos del siglo: "Magnífico! Hemos topado con una paradoja. Ahora sí que podemos tener esperanza de progresar".

La paradoja de Galileo que hemos considerado antes (hay y no hay más naturales que números pares) nos pone de manifiesto que el sentido de ese hay más es ambiguo cuando se trata de conjuntos infinitos y hace falta que nos pongamos de acuerdo sobre él antes de tratar de manejar un conjunto infinito con cierto rigor. G.Cantor, al hacerlo, consiguió abrir caminos hasta entonces insospechados para poder manejar de alguna forma el concepto de conjunto infinito actual, hasta entonces desterrado de la matemática. Solamente el infinito potencial era admisible, es decir el conjunto de los números enteros no se podía tratar matemáticamente como algo completo, en su totalidad realizada, sino como algo que se hace.

En la historia de la matemática las paradojas importantes han representado un verdadero cambio de rumbo en su evolución, al poner de manifiesto que ciertas formas de pensamiento, hasta entonces por nadie discutidas, resultaban conducir a una situación de es y no es insostenible para la mente matemática. El que la proporción entre las medidas de la diagonal y el lado de un pentágono regular no fuera expresable mediante una proporción entre dos números naturales, es decir la aparición del inconmensurable, del número irracional, dió al traste con la creencia fundamental de los pitagóricos de que los números naturales regían todo el universo, pero fue la ocasión para que se enriqueciera la matemática con nuevos métodos para el tratamiento del número (métodos de exhausción de Eudoxo). Las cuatro paradojas de Zenón (Aquiles y la tortuga, la dicotomía, la flecha, el estadio) acabaron con la creencia, también pitagórica, en la constitución atómica del espacio y dieron ocasión para pensar mucho en la naturaleza continua del espacio de la geometría.

En tiempos más recientes, en torno al comienzo del siglo 20, las paradojas en torno a la teoría de conjuntos, la paradoja de Cantor (sobre el conjunto de todos los conjuntos), la de Russell (paradoja del barbero), de Richard (sobre los adjetivos autopredicables y heteropredicables), han dado lugar a toda una revolución en torno a los fundamentos de la matemática, que vino a tener una primera cima histórica con el teorema de incomplitud de Gödel en 1931, que enseguida examinaremos un poco más de cerca. Con esta revolución se puede decir que la matemática ha pasado a ser, en lugar de la disciplina un tanto cerrada en sí misma que el programa de Hilbert (con el que se pretendía demostrar que cualquier proposición legítima del sistema matemático es un teorema o un contrateorema) la hubiera convertido, una disciplina inagotable, abierta, en perpetua expansión, camino de una mejor adecuación a la realidad.

Un aspecto interesante de las paradojas que hemos mencionado es que en todas ellas está de alguna forma presente algún tipo de proceso que tiene que ver con el infinito matemático. No es casualidad, ya que, como tendremos ocasión de ver enseguida, el infinito matemático, presente en el pensamiento matemático desde sus mismos orígenes, es lo que le proporciona la profundidad que posee, aunque también constituye la raíz de los problemas más profundos en los que se embarca.

Hacia la matematización del infinito.

Una barrera en el camino: el teorema de Gödel.

La presencia del infinito en la matemática constituye un reto insoslayable. En la misma percepción originaria de la multiplicidad presente en las cosas, en ese caer en la cuenta de la finitud (no soy quien lo llena todo) y repetibilidad de la unidad presente en la propia conciencia del yo (hay otros como yo mismo), en esos puntos suspensivos que colocamos cuando empezamos a contar y decimos 1,2,3,... está ya presente de alguna manera la percepción de la presencia del infinito en nuestra mente.

Se trata de una presencia no temática, es decir no se hace ella misma objeto al modo como se objetivan las cosas concretas del resto de nuestro conocimiento, pero en realidad es esta presencia la que está dando fundamento a nuestra posibilidad de conocimiento de lo que es finito. Lo finito se recorta en lo infinito como en un horizonte. El infinito está en nuestra mente a modo de un espacio en el que lo finito se destaca, precisamente delimitándose a través de su propia concreción, mostrando así que no lo es todo, que no lo llena todo. Y al mismo tiempo nuestro conocimiento de los objetos concretos, de cualquier conocimiento de lo finito, nos hace percibir la presencia de lo infinito de una forma que tal vez se entienda mejor con la siguiente comparación. En la total oscuridad de una habitación penetra por una rendija un rayo de luz que sale de la habitación por otra rendija opuesta. Entonces no vemos el rayo de luz, y no seremos capaces de percibir la presencia de ese rayo de luz a menos que un objeto, o bien las partículas de polvo del aire, sean iluminadas por ese rayo de luz. Al ver las partículas nos apercibimos de la presencia del rayo de luz. De manera parecida, el infinito de algún modo presente en nuestra mente posibilita y funda nuestro conocimiento de lo finito, y en el conocimiento de lo finito y concreto nos apercibimos de esa presencia del infinito.

El acercamiento con intención matematizante a esta estructura primordial de la realidad (la multiplicidad) es lo que da lugar, a mi parecer, al inicio de nuestras construcciones sobre el número. Y así se puede decir que el infinito matemático ya está presente en nuestro más primitivo contar 1,2,3,... Con el tiempo, y tras la familiarización con el número, la mente comienza a hacerse preguntas sobre la naturaleza de esa realidad presente en ella misma (por ejemplo, podemos considerar como un todo acabado esa multitud que empieza con 1,2,3,... y que sabemos perfectamente cómo se va construyendo? o bien no tiene sentido ninguno el hacerlo?). Estas preguntas se hacen cada vez más sofisticadas. Como ciertas de ellas conducen a situaciones paradójicas y posiblemente confusas, tal como hemos visto antes, la mente se construye un esquema hipotético, cuando es preciso incluso un sistema axiomático formal, con el que aprende a tratar con más rigor la situación. Parece que todo funciona satisfactoriamente. La mente adquiere cada vez más destreza y se atreve a explorar más alla. Vuelven a aparecer otras situaciones paradójicas que le hacen comprender que sus esquemas anteriores no dominan totalmente la realidad para la que fueron construídos. Su visión actual de la situación le sugiere algunas modificaciones de sus construcciones con las que los nuevos problemas quedan solucionados...

A lo largo de la historia de la matemática, este tipo de proceso reaparece una y otra vez, motivando el progreso del pensamiento matemático. Los números irracionales aparecidos al margen de ciertas construcciones geométricas, las paradojas de Zenón en torno al movimiento y a la naturaleza continua del espacio, fueron motivaciones para construir una nueva forma de manejar matemáticamente esta forma de infinitud. Los desarrollos del cálculo infinitesimal, consolidados en un intenso trabajo de multitud de matemáticos entre el siglo 17 y finales del 19, constituyen nuevas formas de manejo del infinito matemático. La teoría de conjuntos de Cantor, a fines del siglo 19 y principios del 20, constituyeron el instrumento fundamental para tratar de dar rigor a estos nuevos esquemas de pensamiento.

A principios del siglo 20, la teoría de conjuntos creada por Cantor, sobre la que se intentaba fundamentar de forma rigurosa el edificio de la matemática, parecía haber alcanzado una cierta madurez para tratar de resolver una pregunta crucial, el problema de la decisión (Entscheidungsproblem). Así se expresaba en 1925 D. Hilbert en un artículo, precisamente titulado Sobre el infinito:

En cierto sentido la matemática se ha convertido en una corte de arbitraje, un tribunal supremo para decidir cuestiones fundamentales sobre una base concreta en la que todos puedan concordar y donde cada afirmación sea controlable,... Un ejemplo del tipo de cuestiones fundamentales que pueden ser tratadas de este modo es la tesis de que todo problema matemático es soluble. Todos nosotros estamos convencidos de que realmente es así. De hecho uno de los principales atractivos para atacar un problema matemático es que siempre oímos esta voz dentro de nosotros: Ahí está el problema, encuentra la contestación, siempre la puedes encontrar puramente pensando, pues en matemáticas no hay ningún 'ignorabimus'.

(D. Hilbert, Über das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1925), 161-190).

Según el sentir de Hilbert, todos los matemáticos del tiempo estaban de acuerdo en que, para cualquier proposición bien construída del sistema matemático habría de existir o bien una demostración de ella o bien una demostración de su negación porque en matemáticas no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik. La demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert proponía. Con ello se llegaría a establecer claramente esa condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.

No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel daba al traste de forma definitiva con el programa de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria:

En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.

Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en un artículo titulado Über folmalunentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).

Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema:

Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.

Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.

Examinaremos a continuación algunas de las consecuencias de este enfrentamiento con el infinito, que tiene una cima importante para nosotros en el teorema de Gödel, especialmente las que tienen relación con nuestra exploración sobre el triángulo mente-realidad-matemática. Trataremos de recapitular brevemente lo que revela en relación con la concepción de la matemática como proceso de acercamiento a la realidad y señalando especialmente el carácter de la matemática como ciencia abierta que sugiere.

El acercamiento de la mente a la realidad

Una apertura de la matemática a la trascendencia?

Hemos visto cómo la mente, en el comienzo mismo de su matematizar, ya en el más primitivo contar, se hace cargo de la presencia, de un modo muy peculiar, en su misma estructura, del infinito. Esta presencia es precisamente la condición de posibilidad de nuestro conocimiento de lo finito, sin ser ella misma abordable de la misma forma que los demás objetos de nuestra mente. Se podría decir que es lo inabarcable, lo misterioso o, en palabras de L.Wittgenstein, lo inexpresable. Tal vez a esta situación aludía él mismo en una página de sus anotaciones:

Lo inexpresable (aquello que me parece misterioso y no puedo expresar) proporciona tal vez el fondo sobre el que alcanza sentido aquello que pude expresar.

(L.Wittgenstein, Vermischte Bemerkungen, Werkausgabe Band 8, Suhrkamp Verlag, Frankfurt am Main, p.472)

Das Unaussprechbare (das, was mir geheimnisvoll erscheint und ich nicht auszusprechen vermag) gibt vielleicht den Hintergrund, auf dem das, was ich aussprechen konnte, Bedeutung bekommt.

El intento de matematización de esta realidad ha conducido a la mente, tras el trabajo de muchos siglos, a través de numerosas crisis y profundizaciones sucesivas, al convencimiento de que el quehacer propio de la matemática es una actividad necesariamente abierta, inagotable escribe Gödel, en el sentido de que nunca puede darse por concluída. Esto, me parece, es bien congruente con la concepción de la matemática que antes he apuntado, como un proceso de permanente acercamiento a una realidad que siempre va a presentar nuevos parajes por explorar, acercamiento que se realiza gracias a la interacción constante con la realidad misma y a la inmensa flexibilidad de nuestra propia mente en este ejercicio de adaptación.

Parece, pues, que el pensamiento matemático comporta varios aspectos que lo hacen muy interesante desde el punto de vista de la relación del hombre con la realidad global del mundo y que son los que, a mi parecer, explican algunas posiciones intelectuales de muchos matemáticos que pueden resultar bien extrañas para quienes nunca han pensado en tales aspectos. De varias maneras, en efecto, tiene lugar en algunos de los matemáticos que más han reflexionado sobre el sentido profundo de su ciencia, una apertura hacia la trascendencia que no les parece en absoluto estar en contradicción con su quehacer matemático, sino incluso fundamentada en ella misma.

Cuál puede ser el sentido de esta apertura a la trascendencia? Será bueno, para comenzar, tratar de delimitar cuándo podemos responder afirmativamente sobre la existencia de una tal apertura a la trascendencia desde el mismo quehacer de la matemática. Tal vez, pienso yo, se puede hablar de tal apertura cuando al reflexionar sobre ese quehacer el hombre encuentra en él mismo indicios, pistas, que hacen pensar a quien matematiza que hay algo o alguien en el universo más allá de él mismo, es decir que es más, que sabe más, que puede más, que fundamenta de alguna manera lo que él encuentra, su misma actividad creativa, por lo que o por quien, según podemos barruntar, la naturaleza se sostiene de algún modo, que está realmente ahí, que es misterioso para nosotros y ante el cual, en principio, nuestro papel consiste en guardar un silencio respetuoso y expectante ante la posibilidad de que se comunique de alguna manera más cercana. Se dan tales elementos en la actividad matemática?

Un poco más arriba hemos tenido la oportunidad de considerar las palabras de Charles Hermite, uno de los grandes matemáticos del siglo 19, repetidas con solemne aprobación por Gödel, sobre el origen divino del mundo de las ideas matemáticas. Enseguida tendremos ocasión de escuchar algunos testimonios semejantes. Se puede dar alguna explicación plausible sobre el origen de tales afirmaciones rotundas?

Por una parte en la mente matematizante se da un cierto grado de libertad. Lo que la mente observa de la realidad que pretende matematizar le guía en sus construcciones, pero no le compele de modo absoluto hasta el punto de privarle de toda autonomía. La realidad observada le permite, en muchas ocasiones, una variedad inmensa de elecciones. Esto indujo a Cantor a afirmar que la esencia de la matemática radica en su libertad, y en ella defendía con insistencia algunas de las, en su tiempo, controvertidas construcciones de su teoría de conjuntos. Pero por otra parte, ante esa misma realidad el matemático tiene la sensación de encontrarse con que esa realidad tiene su estructura propia, su solidez peculiar que se le impone en muchos aspectos, que es algo que está por encima de su propio arbitrio.

Esta situación explica, en primer lugar, la polémica permanente sobre si la matemática se crea o se descubre. En mi opinión, de acuerdo con la concepción ya considerada de la actividad matemática, el matemático atiende a la realidad y, con ella como referencia, construye los esquemas que, espera, se adaptan a mejor a ella, y permanece abierto a la posibilidad de mejorar su forma de aproximación a esa misma realidad. La matemática, en algún sentido, por tanto, se crea y se descubre. Hay estructuras de la realidad que podemos dar por definitivamente establecidas, descubiertas, por ejemplo que 2+2=4, y otras que la mente ha establecido, creado, como acercamiento suficiente, al menos en un primer intento provisional, y que también tienen su valor, incluso en el caso de que se observe más adelante que otras diferentes pueden servir mejor para explicar la realidad.

Esa solidez y fortaleza de la realidad matemática, que se resiste de algún modo a posibles manipulaciones arbitrarias, y a los intentos de un falso encasillamiento, que la mente matemática colectiva y también el matemático individual en su propio trabajo experimentan tantas veces, son tal vez la raíz de las consideraciones en torno a la trascendencia que llevaron a los pitagóricos a contemplar la matemática como escala hacia la divinidad. Al contemplar la fuerza independiente y autónoma de las relaciones que en la matemática se crean-descubren, el matemático puede quedar plenamente convencido de que está percibiendo la presencia de algo superior a él, que le precede a él en inteligencia y cuyas huellas le parece estar siguiendo en todo su esforzado y laborioso trajín. Esto no ha sido tan sólo un convencimiento del pitagorismo primitivo.

A mi parecer, la afirmación de Hermite (y Gödel), sobre el origen divino del mundo de las ideas matemáticas, provienen de la percepción, tal vez sin explicitar ni fundamentar más pormenorizadamente, de esta solidez y rotundidad de los objetos que la mente humana encuentra en su tarea de matematización. Para Gödel, según cuenta Hao Wang, uno de los matemáticos que mejor le han conocido, la tarea de construir una religión racional, basada en su pensamiento lógico-filosófico, constituyó uno de los núcleos importantes del trabajo filosófico de más de los últimos 30 años de su vida. Su teísmo no era como el de Einstein, quien creía en el Dios de Spinoza, no personal. Para Gödel, en palabras de Wang, Dios era más que persona, en consonancia tal vez con la teología negativa de muchos de los místicos de todas las tradiciones, según la cual, nuestras afirmaciones sobre Dios deben ir acompañadas de una confesión de nuestra ignorancia sobre él.

Entre los personajes de la matemática del siglo 20 en cuyos escritos científicos ha quedado plasmado explícitamente algún tipo de percepción de esta apertura a la trascendencia que venimos comentando se encuentra L.Wittgenstein. En la segunda parte de su Tractatus, la parte que se denomina mística, se encuentra una buena porción de pensamientos con tal orientación, expresados, eso sí, en el estilo un tanto sibilino que caracteriza todo el Tractatus. Estos pensamientos ponen de relieve cómo la intención profunda de Wittgenstein en su obra era, como él mismo decía, ética. He aquí una muestra extraída de esta segunda parte:

6.52 Percibimos que, incluso aunque todas las posibles preguntas científicas sean contestadas, los problemas referentes a nuestra vida no han sido tocados en absoluto. Es cierto que precisamente entonces no queda ninguna pregunta; y exactamente esto es la respuesta.

6.521 La solución del problema de la vida se caracteriza por la desaparición de este problema (No es éste el motivo por el que personas para quienes el sentido de la vida resultó claro tras largas dudas no pudieron decir en qué consistía este sentido?)</